Um paradoxo é uma declaração que vai contra o senso comum, expectativas ou definições. Na filosofia e na lógica, por exemplo, os paradoxos são importantes argumentos críticos, e já foram responsáveis pela organização ou reorganização de fundamentos de várias áreas do conhecimento. Parece complexo, não? Mas a gente te explica com calma. De uma vastidão de problemas paradoxais da lógica e da matemática, trazemos cinco deles que já deram um nó na cabeça de muita gente. Dá uma olhada:

Em 1901, enquanto trabalhava em seu livro Os princípios da Matemática, Bertrand Russell descobriu um paradoxo que expunha uma falha nos fundamentos da Teoria dos Conjuntos, de Georg Cantor – o que abalou o mundo da matemática e levou cientistas a repensarem a lógica moderna. Segundo a teoria de Cantor, um conjunto pode conter outros conjuntos, inclusive a si mesmo. Por exemplo, o conjunto das ideias é uma ideia. Mas isso não é verdade para todos os conjuntos, já que existem alguns que não podem conter a si mesmos. É o caso do conjunto de todos os números, que não é um número, ou do conjunto de todas as frutas, que não é uma fruta. Aí Russell resolveu complicar a história. O matemático pegou esse conjunto dos conjuntos que não contém a si mesmos (aquele que inclui o conjunto de todos os números e o de todas as frutas) e perguntou: “Esse conjunto pertence a si mesmo?”. Existem duas repostas possíveis: sim, ele pertence a si mesmo, ou não, não pertence a si mesmo. Se a resposta é que ele pertence a si mesmo, ele é um conjunto que não pertence a si mesmo (porque essa é a característica que define os participantes desse conjunto específico). E se a resposta for que ele não pertence a si mesmo, então ele é um conjunto que pertence a si mesmo. Tá aí o paradoxo de Russell: a resposta afirmativa leva a negação, e vice-versa. Mas esse paradoxo não fica restrito à matemática, e pode ser entendido também no contexto da autorreferência, que é quando uma afirmação faz referência a si mesma. Ele também é conhecido como o Paradoxo do Barbeiro, contado pelo próprio autor para melhor explicar suas ideias: em uma cidade com uma lei rígida quanto ao uso da barba, a regra é que todo homem adulto é obrigado a se barbear diariamente, mas não precisa fazer a própria barba. Existe um barbeiro na cidade para esses casos, para o qual a lei diz que “o barbeiro deverá fazer a barba daqueles que optarem por não fazer a própria barba”. Dessa afirmação, surge o paradoxo, já que como resultado o barbeiro não pode se barbear. Por ser o barbeiro, fazer a própria barba significaria ser barbeado pelo homem que faz a barba só daqueles que optaram por não fazer a própria barba. E ele não pode ir ao barbeiro, pois isso significaria fazer a própria barba, o que não é a função do barbeiro.

Ainda no terreno da autorreferência, há um paradoxo que existe nas mais variadas formas desde os filósofos da Grécia Antiga. Ebulides de Mileto, no século 4 a.C., perguntou: “Um homem diz que está mentindo. O que ele diz é verdade ou mentira?”. Mais uma vez, encontramos uma afirmativa que leva à negação e uma negação que leva à afirmativa. Se o homem estiver mentindo, então ele está falando a verdade. Se o homem estiver falando a verdade, então ele está mentindo. O problema revelado aqui é da ordem do senso comum: o que entendemos por verdade e mentira nos leva a contradições. O Paradoxo do Mentiroso já foi registrado assumindo diferentes formas, contando diferentes histórias, em diversos tempos e culturas. Uma das mais populares é o Paradoxo do Pinóquio. O personagem da literatura infantil, criado por Carlo Collodi, afirma: “O meu nariz vai crescer”. Quem conhece a história sabe que o nariz do boneco de madeira cresce a cada vez que ele conta uma mentira. Bem, se o nariz do boneco crescer, então a afirmação era verdadeira e nada deveria ter acontecido. Se o nariz não crescer, então a afirmação era uma mentira e o nariz deveria ter crescido. A partir de uma afirmação derivada da proferida por Ebulides em sua forma mais simples (“Esta afirmação é falsa”), Kurt Gödel demonstrou o Teorema da Incompletude, na lógica moderna. Em linguagem aritmética, o matemático disse que “esta afirmação é indemonstrável”. Se um axioma (princípio matemático que não precisa de demonstração) desenvolvido tendo como base essa estrutura é falso, então ele é falso e demonstrável, o que é incoerente. Se o axioma é verdadeiro, então ele é verdadeiro e indemonstrável, e, portanto, incompleto. Assim, qualquer teoria na qual seja possível formular uma afirmação como essa é necessariamente incompleta.

No final dos anos 80, o humorista Sérgio Mallandro apresentava o programa infantil Oradukapeta, no SBT. O quadro mais popular do programa era a “Porta dos desesperados”, em que crianças da plateia escolhiam uma entre três portas. Atrás de uma delas havia prêmios, e das outras duas, monstros fantasiados. Agora vamos lá, suponha que você é um participante e escolheu a porta 1. Outro participante escolhe a porta 2 e a abre primeiro, revelando um monstro. Quando o apresentador pergunta se você deseja trocar a porta selecionada, qual seria a melhor decisão? Muitas pessoas diriam que a chance de encontrar um prêmio é agora de uma chance em duas, e que tanto faz qual for a decisão final. Mas em 1975, nos Estados Unidos, a escritora Marilyn vos Savant disse em sua coluna na revista Parade que, em uma situação similar, o participante deveria optar por trocar de portas. Segundo ela, a troca levaria a uma probabilidade de 2/3 de ganhar o prêmio, enquanto a chance de levar a melhor ao permanecer com a escolha inicial seria de apenas 1/3. Isso acontece porque, ao escolher uma porta, a chance de acerto é inicialmente de 1/3. Já tendo sido revelada uma porta falsa, caso a troca seja efetuada, deve-se somar ao 1/3 de chance da porta restante, o 1/3 de probabilidade que era conferido à porta revelada, chegando então a duas em três chances de acertar. Muitos leitores, entre eles especialistas, não foram convencidos pelas explicações da colunista, e escreveram à revista alegando que a proposta deveria estar errada. Com a polêmica, foram conduzidas simulações e provas matemáticas foram desenvolvidas para mostrar que, apesar de fugir ao senso comum, vos Savant estava certa. O problema de Monty Hall ganhou o nome do apresentador do programa de TV Let’s Make a Deal, que funcionava com uma dinâmica bem próxima à da Porta dos Desesperados, de Sérgio Mallandro. É um paradoxo classificado como verídico pelo sistema do filósofo e lógico Willard Van Orman Quine, já que apresenta resultados tão pouco intuitivos que parecem absurdos, mas que são demonstrados como verdadeiros.

O que aconteceria se uma tartaruga apostasse corrida com um atleta? A resposta parece fácil, mas o filósofo pré-socrático Zeno de Eleia complicou as coisas com um de seus paradoxos do movimento. A história contada para explicar o problema proposto pelo pensador é a seguinte: Aquiles e uma tartaruga decidem apostar uma corrida e, como a velocidade de deslocamento do herói da mitologia grega é muito maior que a do pequeno réptil, ele dá uma vantagem para a tartaruga, que começa a prova à frente. Quando Aquiles alcança o ponto A, de onde saiu a tartaruga, ela já está à frente, no ponto B. E quando ele chega ao ponto B, a tartaruga já se encontra no ponto C. Ao Aquiles alcançar o ponto C, ela já está em D, e assim sucessivamente.  Dessa forma, o guerreiro nunca conseguiria ultrapassar a tartaruga. Matematicamente, seria como pensar em um limite: o limite da expressão teria o espaço entre os dois corredores tendendo a zero – e isso significa dizer que a expressão se aproximaria cada vez mais do número 0, sem nunca alcançá-lo. Um dos problemas é que Zeno desconsiderou a variável do tempo. O paradoxo supõe que a soma de infinitos intervalos de tempo é infinita, mas a soma dos infinitos intervalos de tempo que Aquiles gasta para se aproximar da tartaruga, na verdade, converge para um valor finito. Então o herói só não conseguiria alcançar a tartaruga em um intervalo de tempo específico. Apesar das incoerências, o paradoxo foi importante para pensarmos os infinitos, a noção de referencial e movimento.

Um juiz decreta a sentença de um homem condenado, e conta para o prisioneiro que ele vai ser enforcado na próxima semana, entre segunda e sexta-feira, em um dia inesperado, ao meio-dia. O homem entende a sentença de tal forma que fica aliviado, certo de que não vai ser executado. O raciocínio dele é o seguinte: quando chegar a quinta a noite e ainda não houver ocorrido a execução, ele irá saber que esta não pode mais acontecer na sexta, já que isso seria esperado, o que contradiz a sentença – que deixou claro que ele seria enforcado em um dia inesperado. Então, se chegada a quarta-feira e a execução não houver acontecido, a mesma não poderá ser na quinta, pelo mesmo motivo apresentado antes. E assim por diante, não poderá ocorrer na quarta, na terça e nem na segunda. Mas na quarta-feira o prisioneiro é enforcado, uma vez que a lógica desenvolvida por ele tornou a sua execução inesperada. Os lógicos entendem que o problema do paradoxo está em sua natureza de autorreferência e na sentença contraditória do juiz que, ao estipular um tempo determinado (meio-dia) e contado (uma semana) para o enforcamento, não poderia também falar em inesperado. Para a epistemologia, o paradoxo pode também ser um problema associado ao conhecimento – o que sabemos e o que esperamos entra em jogo.

Um viajante no tempo volta ao passado para um momento em que seus avós ainda não se conheciam, mata seu avô e, como consequência, impede o próprio nascimento. O problema é que, sem ter nascido, o viajante não pode voltar no tempo para matar seu avô, o que significa que ele nasceu. Nem da lógica e nem da matemática, essa é a descrição do Paradoxo do avô, que foi proposto pela primeira vez pelo escritor de ficção científica René Barjavel, em sua obra Le Voyageur Imprudent, de 1943. O autor provou que qualquer um pode desenvolver um paradoxo, e que um paradoxo é um olhar crítico sobre como se vê e como se organiza o mundo. A natureza contraditória do Paradoxo do avô, que mostra a impossibilidade dos eventos ocorrerem como descritos, está associada a uma visão de como é a ligação entre passado e futuro. Em diferentes cenários, com diferentes perspectivas sobre a estrutura temporal, o paradoxo não faria sentido. Por exemplo, a partir da noção de que o passado é imutável, seria impossível matar o avô. Também podemos pensar que a viagem no tempo cria ou se associa a uma linha do tempo alternativa, em um universo paralelo, em que, ao matar o avô, aquele que seria o viajante não chega a nascer.

12 grandes avanços que a humanidade deve à cerveja